समाकलन int_0^{frac{pi}{4}} frac{136 sin x}{3 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{136 \sin x}{3 \sin x+5 \cos x} dx$. अंश को $136 \sin x = A(3 \sin x + 5 \cos x) + B(3 \cos x - 5 \sin x)$ के रूप

Vedclass · Accepted Answer

$3 \pi-50 \log _e 2+20 \log _e 5$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{136 \sin x}{3 \sin x+5 \cos x} dx$. अंश को $136 \sin x = A(3 \sin x + 5 \cos x) + B(3 \cos x - 5 \sin x)$ के रूप में लिखने पर। $\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $136 = 3A - 5B$ ... $(1)$ $0 = 5A + 3B$ ... $(2)$ $(2)$ से,$B = -\frac{5}{3}A$. इसे $(1)$ में रखने पर: $136 = 3A - 5(-\frac{5}{3}A) = 3A + \frac{25}{3}A = \frac{34}{3}A$. अतः,$A = \frac{136 	imes 3}{34} = 12$ और $B = -\frac{5}{3}(12) = -20$. अब,$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{12(3 \sin x + 5 \cos x) - 20(3 \cos x - 5 \sin x)}{3 \sin x + 5 \cos x} dx$. $I = 12 \int_0^{\pi / 4} dx - 20 \int_0^{\pi / 4} \frac{3 \cos x - 5 \sin x}{3 \sin x + 5 \cos x} dx$. $I = 12[x]_0^{\pi / 4} - 20[\ln|3 \sin x + 5 \cos x|]_0^{\pi / 4}$. $I = 12(\frac{\pi}{4}) - 20[\ln(\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{2}}) - \ln(5)]$. $I = 3\pi - 20[\ln(\frac{8}{\sqrt{2}}) - \ln(5)] = 3\pi - 20[\ln(4\sqrt{2}) - \ln(5)]$. $I = 3\pi - 20[\ln(2^{5/2}) - \ln(5)] = 3\pi - 20[\frac{5}{2}\ln 2 - \ln 5]$. $I = 3\pi - 50 \ln 2 + 20 \ln 5$.

समाकलन $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{136 \sin x}{3 \sin x+5 \cos x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int\limits_2^4 {\left[ {{{\log }_x}2 - \frac{{{{\left( {{{\log }_x}2} \right)}^2}}}{{\ln 2}}} \right]} dx =$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx =$

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{0}^{5}(x+1) d x$

मान लीजिए $I = \int_a^b (x^4 - 2x^2) dx$ है। यदि $I$ न्यूनतम है,तो क्रमित युग्म $(a, b)$ क्या होगा?

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